Der Bethe-Ansatz

Der Bethe-Ansatz wurde 1931 von Bethe eingeführt [1] und ermöglicht Eigenwerte und Eigenvektoren vieler eindimensionaler quantenmechanischer Vielteilchenmodelle exakt zu bestimmen.
Die Methode findet eine breite Anwendungsmöglichkeit, ist jedoch sehr 'technisch'. Aus diesem Grund wird hier anhand des sogenannten Spin-1/2 Heisenbergmodells nur die Grundidee übermittelt. Doch zuvor noch einige Wort zum Modell selbst.
Einige Jahre nach Einführung der Quantenmechanik haben Heisenberg und Dirac herausgefunden, dass die Wechselwirkung zwischen Elektronenspins eine bedeutende Rolle in der Theorie des Ferromagnetismus spielt [2]. Zur Beschreibung der Theorie wurde ein effektiver Hamiltonopperator herangezogen (siehe Abbildung), dessen Austauschwechselwirkung Jij durch die Coulomb-Abstoßung und das Pauli-Prinzip verursacht wird.
Die Abbildung verdeutlicht eine mögliche Spin-Konfiguration auf einem eindimensionalen Gitter mit der Austauchswechselwirkung Jij zwischen den Gitterplätzen i und j. Der effektive Hamiltonian wird aus den Termen -JijSiSj gebildet. Eine mögliche Konfiguration
In der Praxis wird oft der isotrope Fall untersucht, d.h. für alle Gitterplätze hat man Jij=J zu setzen.
Das Heisenbergmodell ist rotationsinvariant, d.h. [H,Stot]=0, wodurch alle Basiszustände nach der Quantenzahl Stot=S(1)+...+S(N)=N/2-r sortiert werden können. Die Variable N entspricht der Gittergröße und r beschreibt die Anzahl der 'geflippten' Spins.
Der Unterraum r=0 (alle Spins weisen in eine Richtung hin) besteht aus dem einzigen Eigenzustand |F) = |+1...+N). Die Energie E0=-JN/4 folgt unmittelbar aus der Schrödingergleichung H|F) = E|F).
Wird nun ein Spin geflippt (r=1), so läßt sich der Grundzustand aus der Superposition der N translationsinvarinaten Eigenvektoren |n) = S-(n)|F) (mit n=1,...,N) darstellen:
|P) = a1|1)+a2|2)+...+aN|N).
Man findet eine Lösung der Schrödingergleichung H|P) = E|P), wenn an für alle n die Bedingung
2[E-E0]an = J[2an-an-1 -an+1]
erfüllt. Mit periodischen Randbedingungen, d.h. an+N=an, gibt es insgesamt N verschiedene Lösungen an = eikn mit k=2m*Pi/N und m=0,1,...,N-1. Die Energie
E-E0 = J(1-cos k)
erhält man direkt aus der oberen Gleichung.
Die nun folgenden Überlegungen gelte auch für den allgemeinen Fall mit einer beliebigen Anzahl von geflippten Spins!
Bei zwei geflippten Spins (r=2) wird der Unterraum von N(N-1)/2 Basisvektoren |n1n2) = S-(n1)S-(n2)|F) aufgespannt. Der Grundzustand hat dabei die Form
|P) = a1112|1112)+...+ aN1N2|N1N2),
wobei 1<=nn<=nn+1<=N für alle n=1,..,N-1 gelten muss. Das Eigenwertproblem führt nun auf insgesamt N(N-1)/2 Gleichungen. Hier ist es jedoch nützlich die Koeffizienten in der Darstellung
an1n2 = Aei(k1n1+k2n2) + Bei(k1n1+k2n2)
zu wählen, die als Wellenfunktionen zwei superpositionierter Magnonen (Spinwellen) zu interpretieren sind. Die recht aufwendige Untersuchung (die Schritte werden hier nicht mehr präsentiert) liefert schließlich die sogenannten Bethe-Quantenzahlen, die die Energie und den Eigenzustand bestimmen.

Literatur:

[1] H. Bethe, Z. Phys. 71, 205 (1931)
[2] W. Heisenberg, Z. Phys. 38, 441 (1926); P. Dirac, Proc. Roy. Soc. London 112A, 661 (1926)


Christian Dziurzik
2000-04-11