Stochastische Ratschen

Einführung

Ein zentrales Thema in der Physik ist die Dynamik komplexer Systeme. Zur Beschreibung dieser Systeme werden Bewegungsgleichungen formuliert. Zur Aufstellung dieser deterministischen Differentialgleichungen wird angenommen, dass alle das System bestimmenden Grössen in ihrer zeitlichen Entwicklung bekannt sind. Wie sich jedoch in vielen Fällen zeigt, ist diese Voraussetzung nicht erfüllt. Die Systemdynamik unterliegt vielmehr stochastischen Schwankungen, die letzlich aus Fluktuationen, also nicht-deterministischen Komponenten der treibenden Grössen, resultieren.

Ein bekanntes Beispiel ist die thermische Bewegung eines mesoskopischen Teilchens in einer Flüssigkeit, die sogenannte Brownsche Bewegung. Man kann zwar prinzipiell versuchen, die Dynamik aller beteiligten Flüssigkeitsmoleküle deterministisch zu erfassen (-> Molekulardynamik), praktikabler ist hier jedoch die Modellierung des Nettoeinflusses aller Moleküle auf das Teilchen durch eine stochastische Kraft. Dies führt einerseits auf die das System gut beschreibende Diffusionsgleichung (-> Theorie der Fokker-Planck-Gleichung) andererseits auf die Langevin-Gleichung (-> Theorie der stochastischen Differentialgleichungen). Wie in der Theorie der stochastischen Prozesse [1,2] gezeigt wird, sind beide Sichtweisen äquivalent.

Gerichtete Bewegung im periodischen Potential: Ratschen

Schon in den bekannten Feynman-Lectures [3] wurde ein Modell einer Ratsche in einem Gas als ein anschauliches Beispiel für die Richtigkeit des zweiten Hauptsatz der Thermodynamik entwickelt. Man kann aus den thermischen Fluktuationen eines abgeschlossenen Systems niemals Arbeit gewinnen. übertragen in die Sprache der stochastischen Differentialgleichungen heisst das, dass eine thermische Bewegung in einem periodischen Potential keine Vorzugsrichtung hat. Diese Aussage gilt für beliebige Asymmetrie des Potentials.

Dieses Phänomen erlangte neue Aufmerksamkeit als Biologen eine Erklärung dafür suchten, wie im Inneren einer Zelle ein gerichteter Transport von Material stattfinden kann [4]. Als Transportstrecken innerhalb einer Zelle dienen Mikrotubuli (röhrenförmige Stränge aus periodisch angeordneten einfachen Molekülen), an denen sich Motorproteine (Actin und Kinesin) in beiden Richtungen entlangbewegen. Diese binden ihrerseits kleine Vesikel, die das zu transportierende Material beinhalten. Nimmt man nun an, dass sich die Motorproteine in einem durch die Struktur der Mikrotubuli gegebenen periodischen Potential bewegen und ihre Bewegung nicht durch chemische, thermische oder gar elektrische Gradienten getrieben wird, sondern durch ihre thermische Umgebung, dürfte nach obigen überlegungen kein Transport stattfinden.

Für den gradientenfreien Fall muss die Erklärung in der Ankopplung an die Umgebung liegen. Es wurde schnell vermutet, dass die von der Umgebung verursachten Fluktuationen nicht weiss (thermische Fluktuationen bezeichnet man auch als weisses bzw. unkorreliertes Rauschen) sind, sondern farbig (korrelierte Fluktuationen), wodurch auch Nicht-Gleichgewichtsprozesse als treibende Kraft in Frage kommen (-> Brownsche Motoren [5]). Dies ist auch insofern klar, als die Zelle natürlich kein abgeschlossenes Gebilde ist, sondern über die Membran regen Austausch mit ihrer Umwelt betreibt und hierbei gerade bestrebt ist einen Nicht-Gleichgewichtszustand aufrechtzuerhalten.

Etwas verallgemeinert drängt sich also folgende Fragestellung auf: Wie können in solchen Systemen Nichtgleichgewichtsfluktuationen oder periodische Anregungen mit verschwindendem zeitlichen Mittelwert eine gerichtete Bewegung von Teilchen entlang von räumlich periodischen Strukturen mit gebrochener Reflexionssymmetrie, sogenannten Ratschen, induzieren?

Diese Fragestellung wurde auch auf andere physikalische Prozesse, wie die Trennung von mesoskopischen Teilchen [6-9], optische Systeme [10] und die Phase in einem System von Josephson-Kontakten ausgedehnt. Letzteres wird hier im II. Physikalischen Institut experimentell untersucht [11]. Dort wird gezeigt, dass der bekannte Spannungsgleichrichtungseffekt in asymmetrischen dc SQUIDs auf die gebrochene Reflexionssymmetrie im zwei-dimensionalen SQUID-Potential zurückzuführen ist. Die Periodizität der Josephson Kopplungsenergie bezüglich der Phasendifferenz über den Josephson-Kontakt bietet eine ideale Voraussetzung für die Bildung einer Ratsche. Ratschensysteme auf der Basis von Josephson-Kontakten wurden bisher von zwei Gruppen vorgeschlagen [12,13].

Wir beschäftigen uns mit zwei-dimensionalen Ratschensystemen. Diese können numerisch durch Diskretisierung der auftretenden stochastischen Differentialgleichungen bzw. Fokker-Planck-Gleichungen gelöst werden. Ein anderer Ansatz besteht darin, direkt diskrete Modelle für das Ratschensystem, sogenannte ``hopping-models``, aufzustellen und diese mittels Zellularautomaten zu simulieren. Das Ziel ist ein besseres Verständnis des Ratscheneffektes und ein theoretisches Modell für die oben angesprochenen SQUID-Ratschen.

Literatur:

[1] N. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry (North Holland, Amsterdam, 1992)
[2] H. Risken, The Fokker-Planck-Equation (Springer-Verlag, New York, 1984)
[3] R. P. Feynman, R. B. Leighton and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics (Addison-Wesley, Reading, 1963), Vol. I, Kapitel 46
[4] siehe z.B.: R. D. Vale and F. Oosawa, Adv. Biophys. 26, 97 (1990); N. J. Cordova, G. B. Ermentrout and G. F. Oster, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 89, 339 (1992); S. M. Simon, C. S. Peskin and G, F. Oster, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 89, 3770 (1992); C. S. Peskin, G. M. Odell and G. F. Oster, Biophys. J. 65, 316 (1993)
[5] P. Hänggi et al. in J. Parisi et al, Lecture Notes in Physics 476 (Springer, Berlin 1996), pp.294-308
[6] S. Leibler, Moving forward noisily, Nature 370, 412 (1994)
[7] A. Ajdari and J. Prost, Mouvement induit par un potentiel periodique de basse symetrie: dielectrophorese pulsee, C. R. Acad. Sci. Paris 315, 1635 (1992)
[8] J. Rousselet et al., Directional motion of brownian particles induced by a periodic asymmetric potential , Nature 370, 446 (1994)
[9] M. Bier and R. D. Astumian, Biasing Brownian Motion in Different Directions in a 3-State Fluctuating Potential and an Application for the Separation of Small Particles , Phys. Rev. Lett. 76, 4277 (1996)
[10] L. P. Faucheux, L. S. Bourdieu, P. D. Kaplan and A. J. Libchaber, Optical Thermal Ratchets, Phys. Rev. Lett. 74, 1504 (1995)
[11] S. Weiss et al., Ratchet effect in dc SQUIDs, cond-mat/0004061 (2000)
[12] I. Zapata et al., Voltage rectification by a SQUID ratchet, Phys. Rev. Lett. 77, 2292 (1996)
[13] F. Falo et al., Europhys. Lett. 45, 700 (1999)

Frank Brücher
2000-05-03