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Systeme mit einem Freiheitsgrad: Überblick

Zum Aufwärmen analysieren wir im Detail die Dynamik von Systemen mit einem Freiheitsgrad.

Ziele

Sie werden:

  • ...lernen, Bewegungsgleichungen im Phasenraum zu formulieren und qualitative Eigenschaften dynamischer Systeme am Phasenraumportrait abzulesen;
  • ...Bewegungsgleichungen numerisch lösen (mit nicht mehr als drei Zeilen Code, versprochen!)
  • ...den Begriff der Energie wiederholen und sehen, wie man mit diesem Konzept eindimensionale Systeme mittels Quadraturen lösen kann, und
  • ...Kontakt mit speziellen Funktionen machen.

Beispiel

Unser Hauptbeispiel ist das mathematische Pendel:

ein Punktteilchen mit Masse $m$, das an einer starren Aufhängung der Länge $l$ befestigt ist. Wenn man es aus der unteren Ruhelage um den Winkel $\phi$ auslenkt, wirkt eine Rückstellkraft mit dem Betrag \begin{align*} F(\phi) = -mgl \sin(\phi) \end{align*} Für kleine Auslenkungen, kann man den Sinus um $0$ herum zur ersten Ordnung nach Taylor approximieren und erhält \begin{align*} F(\phi) \simeq -mgl \phi \qquad (\phi \ll 1). \end{align*} Dieses approximative Modell nennt man das harmonische Pendel.

(Beim physikalische Pendel hat das Gewicht endliche Ausdehnung und wird nicht als Punktmasse modelliert).

Zwangsbedingungen

Da der physikalische Raum drei Dimensionen hat, ist es erst mal nicht offensichtlich, dass Systeme mit nur einem Freiheitsgrad physikalisch sind. Wir werden später sehen, dass man Freiheitsgrade aus dem Modell eliminieren kann, wenn sie durch Zwangskräfte eingeschränkt sind. Im Fall des Pendels, z.B., kann man sich vorstellen, dass die Masse an einem stabilien Stab befestigt ist. Wenn man versucht, sie in Richtung Aufhängung zu bewegen, übt der Stab eine starke "Zwangskraft" in die Gegenrichtung aus. Die Details besprechen wir in der Lagrangemechanik.

Anwendungen

Die Resultate in diesem Kapitel haben verschiedene Anwendungen.

Im nächsten Kapitel - zum Zweikörperproblem - werden wir sehen, dass man z.B. die Bewegungsgleichungen von zwei Himmelskörpern auf ein eindimensionales Problem reduzieren kann. Damit kann man, z.B., die Rechnungen zur Periodendauer gebundener Lösungen können verwendet um die Periheldrehung des Merkur durch relativistische Korrekturen zum Newtonschen Gravitationsgesetz zu bestimmen. Dies war der erste, durchschlagende Erfolg der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Viele der Begriff aus diesem Kapitel werden Ihnen in den ersten Wochen der Quantenmechanik-Vorlesung wieder begegnen. Die klassischen Wendepunkte von Teilchen im Potential sind dann nicht mehr so rigoros. Teilchen werden in der Quantenmechanik durch Wellenpakete beschrieben, die durch den klassisch verbotenen Bereich hindurchtunneln können. Hier eine Animation des Prozesses (erstellt in einer QM1-Vorlesung).

(Die lustigen Muster entstehen, wenn der noch einlaufende und der bereits relflektierte Teil der Wellenfunktion miteinander interferieren...)

Literatur

Die Themen dieses Kapitels werden diskutiert in Kapitel 1 von [Scheck] und Kapitel 2 von [Arnold] (vergl. Literaturliste auf Kursseite).