Wir betrachten ein Pendel mit Arm der Länge $l$ und Masse $m$.

Potentielle Energie: \begin{align*} U(\phi) &=mgl(1-\cos\phi) \\ &=2mgl \sin^2(\phi/2). \end{align*} Kinetische Energie: \begin{align*} T(\dot\phi)=\frac12 m l^2 \dot\phi^2. \end{align*} Also Gesamtenergie: \begin{align}\label{eqn:total} E &= U(\phi) + T(\dot\phi) \\ &= 2mgl \sin^2(\phi/2) +\frac12m l^2\dot\phi^2 \\ \Rightarrow \quad \dot\phi &= \sqrt{\frac{2}{ml^2}} \sqrt{E-2mgl\sin^2(\phi/2)} \end{align}

Mit den Definitionen \begin{align*} k &:= \sqrt{\frac{E}{2mgl}}, \\ \omega &:= \sqrt{\frac gl}, \end{align*} ergibt sich (Trennung der Variablen - vergl. VL zum Energiesatz) \begin{align*} t(\phi) %&=H(\phi) \\ &= \sqrt{\frac{ml^2}{2}} \int_0^\phi \frac1{\sqrt{E-2mgl\sin^2(\phi'/2)}} \,\mathrm{d}\phi' \\ &= \frac{1}{2\omega} \int_0^\phi \frac1{\sqrt{\frac{E}{2mgl}-\sin^2(\phi'/2)}} \,\mathrm{d}\phi' \\ &= \frac{1}{\omega k} \int_0^{\phi/2} \frac1{\sqrt{1-\sin^2(\phi')/k^2}} \,\mathrm{d}\phi' \\ &= \frac{1}{\omega k} F(\phi/2 \,|\, 1/k^2 ), \end{align*} wobei $F$ das unvollständige elliptische Integral der ersten Art ist (Wikipedia, Abramowitz & Stegun's Handbook of Mathematical Functions, SciPy). Die Größe $k^2$ ist die Energie in Einheiten der potentiellen Energie am oberen Punkt. Für den interessanten Fall der nicht durchdrehenden Lösungen ist $1/k^2$ also größer als 1. Viele Softwareimplementierungen - z.B. die in SciPy - sind nur für Parameter $<1$ definiert:

Mit Formel 17.4.15 in Abramowitz-Stegun kann man auf diesen Fall reduzieren. Es ergibt sich \begin{align*} \frac{1}{\omega k} F(\phi/2 \,|\, 1/k^2 ) = \frac{1}{\omega} F(\alpha \,|\, k^2 ), \end{align*} wobei der Winkel $\alpha$ deifniert ist durch \begin{align*} \sin\alpha &= \sin(\phi/2)/k \\ \Rightarrow\qquad \phi &= 2\arcsin\big( k \sin(\alpha) \big). \end{align*}

Die Umkehrfunktion des elliptischen Integrals ist die Amplitude \begin{align*} \mathrm{am}( u \,|\, k^2) = F^{-1}(u\,|\, k^2). \end{align*} Wichtiger ist der Sinus der Amplitude: \begin{align*} \mathrm{sn}(u\,|\,k^2) = \sin\,\mathrm{am}(u\,|\, k^2) \end{align*} ist die Jacobische Elliptische Funktion (Abramowitz-Stegun Kapitel 16).

Insgesamt also \begin{align*} \alpha(t) % &= H^{-1}(t) \\ &= \mathrm{am}(\omega t\,|\, k^2) \\ &= \arcsin( \mathrm{sn}(\omega t\,|\, k^2)) \end{align*} und endlich \begin{align*} \phi(t) = 2 \arcsin( k \, \mathrm{sn}(\omega t|k^2) ). \end{align*}