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Anmerkungen zur Definition der Jacobi-Funktion

Jacobische elliptische Funktion: Eine Warnung

Die Sinusfunktion kann einfach geometrisch definiert werden: $\sin \phi$ ist die $y$-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis, dessen Abstand von der $x$-Achse, gemessen in Bogenlänge, $\phi$ beträgt.

Man kann den Sinus auch sehr umständlich analytisch definieren, nämlich als Umkehrfunktion von \begin{align}\tag{1}\label{eqn:arcsinint} f(x):= \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-{x'}^2}}\,\mathrm{d}{x'}. \end{align} Die Definition ist korrekt, da \begin{align*} &\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-{x'}^2}}\,\mathrm{d}{x'} \\ =& \int_0^x \frac{\mathrm{d}\,\arcsin(x')}{\mathrm{d}x'} \,\mathrm{d}{x'} \\ =& \arcsin(x). \end{align*}

Der Literatur entnimmt man, dass die Jacobische elliptische Funktion eine "Verallgemeinerung der Sinusfunktion" ist und "etwas mit der Geometrie von Ellipsen zu tun hat". Sie wird oft definiert als Umkehrfunktion des elliptischen Integrals der ersten Art in Jacobiform \begin{align}\tag{2}\label{eqn:jacobiint} %F(x=\sin\phi|k^2) %F(\arcsin u|k^2) F(x|k^2) =\int_0^x \frac1{\sqrt{1-{x'}^2}}\frac{1}{\sqrt{1-k^2 {x'}^2}}\,\mathrm{d}{x'}. \end{align} Für $k=0$ erhalten wir die Funktion in (\ref{eqn:arcsinint}) - in diesem Sinn ist $F$ tatsächlich eine Verallgemeinerung des Arkussinus.

Für unser intuitives Verständnis von (\ref{eqn:jacobiint}) wäre es nun fantastisch, wenn wir -- wie im Falle der üblichen Trigonometrie -- die Geschichte auf einer einfachen geometrischen Definition aufbauen könnten. Im Vorfeld der Vorlesung habe ich versucht, einen solchen Zugang zu finden. Aber, leider, sehe ich nicht wie das geht. Der Zusammenhang von $F(x|k^2)$ mit der Geometrie der Ellipse ist indirekter als der Zusammenhang des Sinus mit der Geometrie des Kreises.

Man kommt nah dran (eine gute Quelle ist [Lawden: Elliptic Functions and Applications, Chapter 4]): Das elliptische Integral der zweiten Art in Legendre-Form \begin{align*} E(\phi|k^2) % =& \int_0^1 \sqrt{\frac{1-k^2 t^2}{1-t^2}} \,\mathrm{d}t \\ =& \int_0^\phi \sqrt{1-k^2 \sin^2(\phi')} \,\mathrm{d}\phi' \end{align*} beschreibt tatsächlich die Bogenlänge einer Ellipse.

Und für den Parameter $k=2^{-1/4}$ kann man eine direkte geometrische Interpretation des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art als Bogenlänge entlang einer Lemniskaten herstellen.

(Quelle: Wikipedia, CC BY-SA 4.0)

Jeweils nah dran an der geometrischen Definition die wir suchen... ...aber halt nicht ganz.

Übrigens scheint das Bedürfnis nach einer direkten geometrischen Beschreibung weit verbreitet zu sein. Vor Beginn der VL erzählte die englische Wikipedia-Seite eine solche Geschichte... ...nur leider war sie irgendwo zwischen sehr irreführend bis komplett falsch. Es gab sogar Blog-Einträge, die sich darüber beschwert haben. Ich habe versucht, den Eintrag etwas aufzuräumen. Mal sehen, ob die Änderung Bestand hat.

Lehre: Manchmal ist es leider kontraproduktiv, zu viel Energie in die Suche nach einer geometrischen Interpretation zu stecken.

Anmerkung zur Jacobi-Form vs Legendre-Form

Um den Zusammenhang zum Arkussinus herauszustreichen, haben wir oben die Jacobi-Form des elliptischen Integrals benutzt. In der Vorlesung wurde stattdessen die Legendre-Form \begin{align*} F_{Leg}(\phi|k^2) = F_{Jac}(x =\sin \phi |k^2) \end{align*} eingeführt. Mit dem Koordiantenwechsel $x=\sin\phi$ kann man (\ref{eqn:jacobiint}) auf die aus der VL bekannte Form bringen: \begin{align*} &\int_0^x \frac1{\sqrt{1-{x'}^2}}\frac1{\sqrt{1-k^2 {x'}^2}}\,\mathrm{d}{x'} \\ =&\int_0^{\phi} \frac1{\cos\phi'} \frac1{\sqrt{1-k^2 \sin^2\phi'}} \frac{\mathrm{d} \sin(\phi')}{\mathrm{d}\phi'}\,\mathrm{d}\phi' \\ =&\int_0^{\phi} \frac1{\sqrt{1-k^2 \sin^2\phi'}} \,\mathrm{d}\phi'. \end{align*}

In [ ]: